Lógica Modal

LÓGICA MODAL

“En matemática ‘necesario’ y ‘todo’ van juntos” (Wittgenstein. Investigaciones Filosóficas)

“La categoría fundamental para la interpretación de la realidad no es la necesidad, sino la posibilidad. Todo lo que existe es una posibilidad que se ha realizado” (Leibniz)

“Si así fue, así pudo ser; si así fuera, así podría ser; pero como no es, no es. Eso es lógica” (Claude Lévi-Strauss)

La Lógica Modal
La lógica modal es la lógica de las verdades necesarias y las verdades posibles. Es una lógica que emplea los conceptos de “necesario” y de “posible” en sus expresiones y razonamientos. La notación es:

Para lo posible existen 4 valores:

N°	Valor	Notación
1	Es posible que x	◇x
2	Es posible que no-x	◇¬x
3	Es imposible que x	¬◇x
4	Es imposible que no-x	¬◇¬x

En principio, lo opuesto a lo posible admitiría dos respuestas distintas: lo imposible y lo necesario. Ambas opciones son correctas en cierto modo:

Lo posible y lo imposible se oponen directamente.
Los conceptos de posible y necesario no se oponen directamente, sino a través de la negación de x.

Combinando las nociones de posible y necesario con los valores de verdadero y falso, obtenemos las dos equivalencias siguientes:

Si algo es necesariamente verdadero, no es posible que sea falso; y viceversa:

□x ≡ ¬◇¬x
(“es necesario que x” es equivalente a “no es posible que no-x”)
Si algo puede ser verdadero, no es necesario que sea falso; y viceversa:

◇x ≡ ¬□¬x
(“es posible que x” es equivalente a “no es necesario no-x”)

Teniendo en cuenta estas equivalencias, tenemos la tabla siguiente:

N°	Valor	Notación	Equivalente	Notación
1	Es posible que x	◇x	No es necesario que no-x	¬□¬x
2	Es posible que no-x	◇¬x	No es necesario que x	¬□x
3	Es imposible que x	¬◇x	Es necsario que no-x	□¬x
4	Es imposible que no-x	¬◇¬x	Es necesario que x	□x

Estas equivalencias son análogas a las que existen entre los cuantificadores universal ∀ (todo) y el existencial ∃ (alguno):

Si todo elemento tiene la propiedad P, entonces no existe ningún elemento que no tenga la propiedad P; y viceversa:
∀xPx ≡ ¬∃x¬Px
Si existe un elemento que tiene la propiedad P, entonces no todos los elementos no tienen la propiedad P; y viceversa:
∃xPx ≡ ¬∀x¬Px

Podemos establecer entonces la siguiente correspondencia entre modalidad y cuantificación:

Puesto que un operador modal se puede definir en función del otro, basta con coger uno de ellos como primitivo. Se suele escoger el de necesidad (□).

Además de las dos equivalencias anteriores, tenemos la regla de que la necesidad de algo implica su posibilidad: □x → ◇x

La Evolución de la Lógica Modal
Ha habido tres grandes épocas en que los lógicos se han ocupado de la modalidad: la antigüedad clásica, la época medieval y el siglo XX. Esta última ha sido la de mayor desarrollo, cuyas figuras más destacadas son Rudolf Carnap, Clarence Irving Lewis y Saul Kripke.

Aristóteles, en el Peri Hermeneias (Sobre la Interpretación) −perteneciente al Organon (conjunto de obras de lógica que fue la única fuente de la ciencia lógica durante siglos)− distingue 4 modos (lo necesario, lo imposible, lo posible y lo contingente), así como sus interrelaciones.
La época medieval estuvo dedicada casi exclusivamente a estudiar y comentar la herencia aristotélica: el Organon. Una aportación importante fue la distinción entre “necesidad de re” (lo real) y “necesidad de dicto” (lo lingüístico, proposicional o lógico). Aristóteles siempre había tratado modalidades de re y apenas se puede interpretar que tratara de las modalidades de dicto.
Hugh McCall, en su obra de 1906, “Symbolic Logic and its aplications”, al definir el concepto de inconsistencia, apela a la noción de posibilidad.
Clarence Irving Lewis −normalmente citado como C.I. Lewis− es considerado el verdadero fundador de la lógica modal moderna, al proponer su formalización axiomática y la formalización de los operadores modales de posibilidad y necesidad.

En 1912 publica “Conditionals and the Algebra of Logic”, el primer tratamiento simbólico y formal de la lógica modal.

En 1918 publica “A Survey of Symbolic Logic”, en donde propone un nuevo condicional (la implicación estricta) para recoger formalmente el significado natural de “si p entonces q”, e introduce por primera vez los operadores modales de necesidad (□) y posibilidad (◇).

Su obra de 1929 “Mind and the World Order” (La Mente y el Orden del Mundo) [2004] es considerada como la más importante del siglo XX en epistemología.

En su obra de 1932 “Symbolic Logic” [1959] −escrita en colaboración con C.H. Langford− establece diferentes sistemas axiomáticos formales (los sistemas S1 a S5).
Rudolf Carnap, en su obras de 1934 “Logical Syntax of Language” [2010], aparecen de manera explícita los conceptos de necesidad y posibilidad, que evocaban la idea de los “mundos posibles” de Leibniz.

En su artículo “Modalities And Quantification” [1946], aparece el concepto de “descripción de estado”, un precursor del concepto de “mundo posible”: un conjunto de proposiciones máximamente consistentes.

En su obra de 1947 “Meaning and Necessity” [2008] desarrolla una teoría integrada de necesidad física y lógica, realizando por primera vez una interpretación semántica.
Georg Henrik von Wright publicó en 1951 en “An Essay in Modal Logic”, en el que daba una nueva interpretación del operador de necesidad (□) como “se sabe que”, inaugurando así la “lógica epistémica”, una corriente dentro de la lógica modal. La lógica epistémica se ocupa del razonamiento sobre el conocimiento, un tema que enlaza con la filosofía, el lenguaje, la mente, la inteligencia artificial y la ciencia computacional.
Saul Kripke, en los años 1960s, amplió la lógica modal con la denominada “semántica de los mundos posibles”, inspirada en las ideas de Leibniz y Carnap. La lógica modal la formaliza Kripke mediante un sistema axiomático llamado “K” (de Kripke), que incluye los mundos posibles, las relaciones de accesibilidad entre ellos, y una función veritativa que indica en qué mundos una proposición es verdadera.
Richard Montague, a finales de los años 1960s, utilizó el concepto de “mundo posible” como piedra angular de la formalización de su gramática universal y como herramienta de análisis filosófico.
Jaako Hintikka, en su publicación de 1962 “Saber y Creer” [1979] formalizó la semántica de los mundos posibles mediante el concepto de “conjunto modelo”. En general, propone utilizar modalidades para capturar la semántica del conocimiento en los campos como la lógica epistémica (la lógica del conocimiento), la lógica doxástica (la lógica de la creencia) y la lógica deóntica (la lógica de la obligación).

La lógica modal ha permitido obtener importantes resultados generales y ha abierto nuevas líneas de investigación en semántica, que se están aplicando en diversos campos como teoría de la demostración, ciencia de la computación e inteligencia artificial.

MENTAL y la Lógica Modal
MENTAL ofrece una formalización simple, expresiva e intuitiva de la lógica modal, pero a la vez extremadamente genérica y potente.

Más allá de la lógica modal

MENTAL no requiere de operadores especiales de modalidad para describir y operar con la necesidad y la posibilidad. Estos conceptos trascienden la lógica, como ocurre con los cuantificadores y los predicados. Pertenecen a un nivel semántico superior que la lógica formal, que es de tipo superficial. La modalidad esconde de forma encubierta una referencia al conocimiento humano y, por lo tanto, no se trata de lógica, sino de epistemología. En MENTAL este aspecto se hace evidente porque:

La necesidad está ligada a una expresión genérica (parametrizada o no), que puede ser de cualquier tipo y no solo de tipo lógico. La necesidad es un caso particular de lo genérico. Por lo tanto, no se necesita el operador de “necesidad” como primitivo. Basta con la primitiva “Generalización”. En el caso de que se utilice una condición, el antecedente especifica la condición a detectar. El consecuente especifica la acción a realizar.
La posibilidad es lo que no se especifica como necesario.

Con MENTAL se pone de relieve que las expresiones genéricas son de un máximo nivel de abstracción, pues permite expresar el cuantificador universal y el operador modal de necesidad, además de funciones, reglas, clases, etc. También permite expresar conocimientos generales o particulares de un dominio, lo que es obligatorio, para implementar hipótesis o creencias y experimentar con ellas, etc. Estos conocimientos no están ligados necesariamente a la lógica.

Una lógica modal sin axiomas específicos

La lógica modal se basa en axiomas. A diferencia de la lógica clásica, existen diferentes sistemas axiomáticos, con axiomas diferentes. El tema de cuales son los axiomas más idóneos es algo muy debatido y controvertido. MENTAL, en cambio, no necesita axiomas específicos de la lógica modal. Bastan las primitivas y los axiomas genéricos que relacionan las primitivas.

Notación

La notación de la lógica modal □x (es necesario que x) indica que x no puede variar. Quine definía “p es necesario” como “p es igual a sí mismo”. Para Krike, la identidad es una propiedad esencial de cada objeto e individuo, una relación interna que cada objeto mantiene consigo mismo. En lógica modal, la identidad se puede expresar como □(x=x) (es necesario que x sea igual a sí mismo).

En MENTAL, □x se expresa mediante la expresión genérica ⟨x⟩. Pero la expresión x debe especificar una relación, que es la que hay que mantener. Y □(x=x) se expresa mediante la expresión genérica

⟨( x = x )⟩

En MENTAL, la identidad es un caso particular de la necesidad.

Es posible cambiar la notación de MENTAL por la notación estándar, si se desea:

⟨( □x =: ⟨x⟩ )⟩

□(a>12 → (a = 12))

⟨( a>12 → (a = 12) )⟩

Ejemplos

⟨( x/hombre → x/mortal )⟩
(si x es hombre, x es necesariamente mortal)
⟨( c = a+b )⟩
(es necesario que c sea siempre la suma de a y b)
((a = 7) (b = 5)) c // ev. 12 ((a = 8) (b = 6)) c // ev. 14
⟨( a>12 → (a = 12) )⟩
(es necesario que a no sea mayor que 12)
(a = 75) a // ev. 12
⟨( a = 5 )⟩
(es necesario que a sea siempre 5)
(a = 75) a // ev. 5
⟨( a∉A → (A = {a A↓} )⟩
(es necesario que a pertenezca al conjunto A)
(A = {b c}) A // ev. {a b c}

Adenda
El pragmatismo conceptual

C.I. Lewis es también el fundador del pragmatismo conceptual, que se basa en las ideas principales siguientes:

La mente determina la estructura de la realidad. La mente posee un conjunto de conceptos a priori con los que interpreta la realidad. Estos conceptos no son de tipo absoluto; son producto de la herencia social y cultural.
Los conceptos a priori son abstracciones, patrones relacionales o configuraciones abstractas de relaciones.
El conocimiento empieza y termina con la experiencia. Solo con la experiencia algo puede tener significado. No se puede separar experiencia de cognición. El conocimiento empírico depende de la actividad constructiva de la mente.
Hay que distinguir entre “significado lingüístico” (las relaciones lógicas entre sus términos) y “significado empírico” (las expresiones relativas a la experiencia).

Bibliografía

Aristóteles. Organon. Tratados de Lógica, vol. 2, Editorial Gredos, 1995.Bochenski, Joseph M. Historia de la lógica formal. Gredos, 1985.
Carnap, Rudolf. Meaning and Necessity. A Study in Semantics and Modal Logic. Clarke Press, 2008.
Carnap, Rudolf. Modalities and Quantification. Journal of Symbolic Logic, 11 (2): 33-64, 1964.
Carnap, Rudolf. Logical Syntax of Language (1934). Routledge, 2010.
Carnap, Rudolf. Modalities and Quantification. The Journal of Symbolic Logic, 11:2, June 1946.
Chagrov, A.; Zakharyaschev. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.
Chellas, Brian F. Modal Logic: An Introduction. Cambridge Univiversity Press, 1980.
Deaño, Alfredo. Introducción a la lógica formal. Alianza Editorial, 2009.
Ferrater Mora, José; Leblanc, Hugues. Lógica Matemática. Fondo de Cultura Económica, 1962.
Hintikka, Jaakko. Saber y creer. Una introducción a la lógica de las dos nociones. Tecnos, 1979.
Hughes, Georg Edward; Cresswell, M.J. Introducción a la lógica modal. Editorial Tecnos, 1973.
Kneale, W.; Kneale, M. El desarrollo de la lógica. Tecnos, 1972.
Lemmon, John. New foundations for Lewis modal systems. Journal of Symbolic Logic, 22:176-186, 1957.
Lemmon, John; Scott, Dana. An introduction to modal logic. Blackwell, 1977.
Lewis, C.I.; Langford, C.H. Symbolic Logic. The Century Company, 1932 (2a. ed., Dover, 1959).
Quine, Willard van Orman. Desde un punto de vista lógico. Editorial Ariel, 1962.
Quine, Willard van Orman. Theories and Things. Harvard University Press, pp. 113-123, 1986.
Salguero Lamillar, Francisco José. Breve Reseña Histórica Acerca de la Lógica Modal, desde Aristóteles hasta la Semántica de Mundos Posibles. Summa Logicae en el Siglo XXI. Ediciones Universidad de Salamanca. 2004.
Van Benthem, Johan. Modal and Classic Logic. Bibliopolis, 1985.